Soweit ich weiß, hast du Dir mit dem Einkauf im DSi-Ware Shop die Lizenzen für diese Spiele gekauft. Bedauerlicherweise sind diese Lizenzen mit der Hardware deines DSi verknüpft (korrigiert mich, falls ich mich irre), weshalb Dir deine Kopien auf der SD-Karte nicht's nützen. Wenn dir Big-N nen neuen DSi geschickt hat (anstatt den anderen zu reparieren) hast du eben andere Hardware und deshalb auch nicht die möglichkeit deine DSi-Ware auf dieser anderen Hardware auszuführen. (Anmerkung: Sollte BigN wiklich deinen DSi nur repariert haben, solltest du normalerweise die DSi-Ware erneut runterladen können bzw. von SD-Karte zurückkopieren können.)
Da der DSi bisher nicht gehackt ist, hättest du auch illegalerweise keine Möglichkeit, diese DSi-Ware auf deinem DSi zu installieren (es ist illegal, weil deine Lizenzen nicht für deinen neuen DSi registriert sind)
Mein Rat: Mach Nintendo Druck. Ruf da an, schreib denen eMails. Du hast Dir etwas gekauft, was jetzt in deren Besitz ist (und zwar die DSi-Ware Lizenzen, die mit deinem alten DSi verknüpft ist) und Du willst das wieder haben. Am besten in Form einer Gutschrift in Nintendo-Points, damit du dir die DSi-Ware erneut runterladen kannst.