Das solltest du am Besten mit einem NAS tun und hinbekommen. Ggf. reicht auch ein DD-WRT fähiger Router oder ein RasPi, aber da ich mich selbst nicht damit beschäftige (besonders das iPad will ja gerne ganz besonders spezifische Protokolle...), ist das nur ein Gedanke.

Wie eN-t sagte, Mini PC für etwa 100-200€ als "Homeserver" hinstellen, Windows XP drauf(Netzwerkzugriff auf Lokal beschränkt) und iTunes drauf. Schon hat man seine Mediathek für alle Apple Geräte und stromsparend ist es auch noch.
Edit: Oder einen ThinClient aufstellen...

Ich handhabe das auch mit einem kleinem Raspberry Pi + externer Festplatte und einem "großen" Server mit einigen Festplatten.
Der Raspi hat MiniDLNA installiert und kann damit Fernseher und Playstation bedienen. Für mein XBMC sind die Verzeichnisse per NFS freigegeben.
Der Server hat einen Twonky Media Server für DLNA Streaming installiert und kann ebenfalls den Fernseher und die Playstation bedienen.

Das Abspielen über das Netzwerk ist bei den Mobilgeräten immer so eine Sache. Aber da könnte man es mit einem Webserver versuchen. Der Webserver lässt einfach sein Directory Listing laufen, worüber Du den Film aussuchen kannst und dann spielst Du die Dateien über den Browser ab. Das sollte zumindest unter Android mit Chrome funktionieren. Der Safari sollte das aber auch unterstützen. Das ist keine schöne Lösung, aber eine Möglichkeit.

Eine etwas andere Möglichkeit, die Dir vielleicht eher zusagt, ist der Plex Media Server (plex.tv). Dazu kann ich Dir aber nichts sagen, da ich es selbst nicht nutze. Die mobile App kostet ein paar Euro, aber der Server selbst scheint kostenlos zu sein. Schau es Dir einfach an. Vielleicht ist es ja genau das, was Du suchst.

Ich habe mir dafür nun einfach das hier bestellt: synology.com/de-de/products/DS215j

Ich glaube, Drop box unterstützt die Möglichkeit, Videos direkt im Browser abzuspielen. Da wird Dir aber der Speicher ganz schnell einen Strich durch die Rechnung machen.
Diese Idee finde ich sowieso etwas waghalsig. Wenn man schon eine Mediathek benutzt, hat man sicherlich mehrere 100 Gigabyte an Filmen, Serien, Musik. Das alles in die Cloud zu schieben würde nicht nur ewig dauern, sondern wäre für den Anbieter auch noch fraglich. Da Du immerhin einen Haufen urheberrechtlich geschütztes Material bei denen lagerst. Es geht ihn zwar nichts an, aber wenn mir soetwas bekannt werden würde, würde ich denjenigen ganz schnell beseitigen.

Für das mobile Filme schauen treffe ich immer eine Vorauswahl, die ich auf den Speicher meines Gerätes packe.

Du wirst das Ganze schon lokal hosten müssen oder alternativ für einen Server im Netz zahlen müssen.
Wenn Du es Dir ganz einfach machen möchtest, abbonierst Du Dir einen VideoOnDemand Dienst wie Amazon Prime, Netflix und Co.

Für Dein Vorhaben glaube ich nicht, dass es da eine kostenlose Lösung gibt, die bequem und nutzbar ist.

Ein RasPi macht nur selbst als Medien-Client Sinn, aber nicht als NAS, da sich die USB-Ports und der Ethernet-Port die gesamte vorhandene Bandbreite teilen müssen.

Wie von meinen Vorrednern genannt, ist man entweder mit einem Home Cinema PC/Mini PC (kann auch ein ausgeschlachteter PC sein) oder einem ausreichend dimensionierten NAS ganz gut bedient.

@StarWolf3000
Mein Raspi liefert seine 8 MB/s über FTP auf die externe Platte.
Auch DLNA Streaming funktioniert mit hohen Bitraten.
Die 5 Watt sind wunderbar zu verkraften bevor man sich einen Tower hinstellt.
Man muss halt nur Abstriche machen, wenn was die Multiuserfähigkeit angeht. Da bricht das System ganz schnell zusammen. Aber für einen User reicht ein Raspi als NAS eigentlich ganz gut aus. Da kann man sich die teure NAS Hardware auch sparen.
Selbst ein paar Dienste laufen nebenbei (solange es kein Java ist)

@Night_Fury Ein NAS oder an Online Diensten?
Ansonsten die Raspi Lösung (Raspi + HDD + mehrfach-Ladegerät)

Ich denke mal, dass ein Raspi günstiger ist. Das wäre aber mit ein bisschen Arbeit verbunden. Außerdem benötigst Du dann noch einen DLNA-Clienten für Dein Tablet (ein NAS mit bräuchte den wohl auch).