Ich denke mal, dass sich da nicht so viel machen lässt. Zumindest fällt mir keine Möglichkeit außer ein Austausch ein.

Wenn der einer Einbuchtung gleicht bekommt man den nicht mehr weg...

Versuch mal nen temperated screen protector draufzumachen, eventuell sieht man die kratzer nicht mehr. Bei mir hats geholfen

Scheibe auswechseln beim Xperia ist keine gute Idee. Die Dinger sind ordentlich wasserfest und das ist teilweise durch Kleber gelöst. Wenn du das Teil aufmachst, wird das mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit deutlich anfälliger für Schmutz (Kameralinse) und Wasser sein.

Ich kann dir nur raten eine Folie drüberzupacken, die dick genug ist, um nicht in den Riss zu versinken, aber auch nicht zu dick, weil sonst die Eingaben nicht mehr richtig funktionieren.

Diese ollen Smartphones schaffen es nicht mal bei 700mA die Ladung zu halten, wenn das Display an ist. Überprüf mal die Leistung deines Ladegeräts. Die blinkende LED könnte auf einen defekten Akku hindeuten. Je nachdem, unter welchen Umständen sie in welcher Farbe blinkt. (Ist das Gerät aus? Farbe zufällig rot? => Akku defekt)

Nur mal zum besseren Verständnis: Wenn du vom Ladekabel sprichst, meinst du dann das komplette Ladegerät mit dem USB-Kabel dran, oder nur das Kabel?

Beim Ladegerät kann es sein, dass einfach der ausgegebene Strom zu niedrig ist, um das Telefon ordentlich zu laden. Ladegeräte arbeiten aber nicht immer mit dem maximalen Ausgangsstrom, sondern reduzieren den ausgegebenen Strom dann langsam aber sicher, um den Akku nicht zu überladen. Reduziert das Ladegerät aber den Strom zu weit, beginnt das Telefon zu spinnen, weil es nicht mehr richtig erkennen kann, ob es denn nun geladen werden soll, oder nicht.

Verwende am besten einfach das originale Ladegerät vom Z1, damit lädst du es wohl am schnellsten und vor allem am sichersten für den Akku auf.

Aber auch das angeschlossene USB-Kabel spielt eine Rolle. Ist das Kabel schlicht zu lange, kannst du auch Probleme beim Laden bekommen. Thema "Spannungsfall"

Normalerweise hängt es nicht an den USB Kabeln.
Was für ein AC/DC Umwandler (USB Netzteil) nimmst du?

@CherryBlossom
Probier erstmal die SIM von einem anderen Handy einzustecken, die sicher geht. Falls es dann geht, ist deine SIM einfach kaputt. Wenn es nicht geht, ist dein Z1 nicht ganz in Ordnung.

Die Frage die sich mir jetzt erst einmal stellt ist, wirst du überhaupt mit deinem Provider verbunden? Wenn das der Fall ist, dann die zweite Frage ob das Handy einmal gerootet wurde (ggf. auch einfach nur ein Anzeichen dafür).
Es gibt bei den Androids gewisse Vorgänge (beobachtet an meinem Galaxy Tab 10.1), wo bei einem Neustart der SIM-Code nicht eingegeben werden muss, sich aber das Handy komplett mit deinem Provider verbindet. Das ist im Grunde ein aushebeln der Sicherheitsabfrage, indem der Pin gespeichert oder aber erst gar nicht deine Sim von dem Gerät abgemeldet wird (SIM bleibt weiter aktiv).